Riset Operasi Dalam TI Tentang Masalah Maksimasi dan Minimasi

PROGRAM LINIER DENGAN METODE GRAFIK

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah :

1.     pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi
2.     identifikasikan tujuan dan kendalanya
3.     definisikan variabel keputusannya

Metode grafik adalah satu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi dalam programasi linier. Keterbatasan metode ini adalah variabel yang bisa digunakan terbatas (hanya dua), penggunaan 3 variabel akan sangat sulit dilakukan.
Dua macam fungsi Program Linear:

• Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah
• Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.

1. MASALAH MAKSIMASI
Maksimasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.
Contoh:
PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:

Jenis Bahan Baku dan Tenaga Kerja	Kg Bahan Baku & Jam Tenaga Kerja		Maksimum Penyediaan
	Kain Sutra	Kain Wol
Benang Sutra	2	3	60 kg
Benang Wol	-	2	30 kg
Tenaga Kerja	2	1	40 kg

 Langkah-langkah:
1) Tentukan variabel
        X1=kain sutera
        X2=kain wol
2) Fungsi tujuan
        Zmax= 40X1 + 30X2
3) Fungsi kendala / batasan
        1. 2X1 + 3X2 60 (benang sutera)
        2. 2X2 30 (benang wol)
        3. 2X1 + X2 40 (tenaga kerja)
4) Membuat grafik
        1. 2X1 + 3 X 2=60
            X1=0, X2 =60/3 = 20
            X2=0, X1= 60/2 = 30
        2. 2X2 30
            X2=15
        3. 2X1 + X2 40
            X1=0, X2 = 40
            X2=0, X1= 40/2 = 20

Cara mendapatkan solusi optimal:
1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
    X1=0, X2=0
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
    X1=20, X2=0
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800
Titik C
    Mencari titik potong (1) dan (3)
    2X1 + 3X2 = 60
    2X1 + X2 = 40
    2X2=20 X2=10
    Masukkan X2 ke kendala (1)
    2X1 + 3X2 = 60
    2X1 + 3 . 10 = 60
    2X1 + 30 = 60
    2X1 = 30 X1 = 15
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
    2X2 = 30
    X2 = 15
    masukkan X2 ke kendala (1)
    2X1 + 3 . 15 = 60
    2X1 + 45 = 60
    2X1 = 15 X1 = 7,5
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
    X2 = 15
    X1 = 0
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450
Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan
keuntungan sebesar Rp 900 juta.

2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.
Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin. Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3).

Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
   2X1 + 3X2 = 60
   2X1 + X2 = 40
   2X2=20
   X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
   2X1 + 3X2 = 60
   2X1 + 3 . 10 = 60
   2X1 + 30 = 60
   2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
   40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900

2. MASALAH MINIMASI
Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik origin.
Contoh:
Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:

Jenis Makanan	Vitamin (unit)	Protein (unit)	Biaya per unit (ribu rupiah)
Royal Bee	2	2	100
Royal Jelly	1	3	80
Minimum Kebutuhan	8	12	-

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi.
Langkah – langkah:
1. Tentukan variabel
    X1 = Royal Bee
    X2 = Royal Jelly
2. Fungsi tujuan
    Zmin = 100X1 + 80X2
3. Fungsi kendala
   1) 2X1 + X2 8 (vitamin)
   2) 2X1 + 3X2 12 (protein)
   3) X1 2
   4) X2 1
4. Membuat grafik
    1) 2X1 + X2 = 8
        X1 = 0, X2 = 8
        X2 = 0, X1 = 4
    2) 2X1 + 3X2 = 12
        X1 = 0, X2 = 4
        X2 = 0, X1 = 6
    3) X1 = 2
    4) X2 = 1

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu
persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12
-2X2 = -4 X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460
Kesimpulan :
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.

Contoh Soal 1 (Kasus Maksimisasi) :

Sebuah perusahaan memiliki 2 macam persediaan bahan baku I untuk memproduksi barang A maksimum 8 satuan dan bahan baku II maksimum 5 satuan. Untuk 1 unit produk A memerlukan 2 unit bahan baku I dan 1 unit bahan baku II. Sedangkan untuk 1 unit produk B memerlukan 3 unit bahan baku I dan 2 unit bahan baku II. Berdasarkan hasil riset pasar, diketahui bahwa harga jual produk A sebesar RP. 15 ribu dan produk B seharga Rp. 10 ribu.

Berapa produksi barang A dan B agar jumlah hasil penjualan maksimum ?

Cara Pemecahan masalahnya :

1.      Pemecahan masalah akan menggunakan metode aljabar. Kita harus mencari nilai X1 (banyaknya barang A dalam satuan yang akan diproduksi) dan nilai X2 (banyaknya barang B dalam satuan yang akan diproduksi) dari ketidaksamaan diatas, kemudian memasukkan nilai X1 dan X2 dalam fungsi objekktif Z dan kit apilih nilai Z yang terbesar yang memberikan pemecahan optimal.

2.      Untuk mencari nilai X1 dan X2, kita harus mengubah ketidaksamaan menjadi persamaan dengan jelas memasukkan nilai variabel slack (nilai variabel yang ditambahkan agar ketidaksamaan berubah menjadi persamaan), yaitu variabel X3 ≥ 0 dan X4 ≥ 0, sebagai berikut :

2X1 + 3 X2 + X3 = 8

 X1  + 2 X2 + X4 = 5

Ternyata ada 4 variabel yang akan dicari nilainya, akan tetapi hanya tersedia 2 persamaan. Mengingat dua persamaan hanya dapat dipergunakan untuk memecahkan / mencari nilai 2 variabel saja, sehingga 2 variabel lainnya dalam setiap pemecahan nilainya harus nol.

 Variabel slack dapat diartikan sisa bahan mentah. Oleh karena itu

Solusi :

Rumuskan terlebih dahulu Linerar Programming (LP) yang standard (ketidaksamaan diubah menjadi persamaan) sebagai berikut :

Max Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4

Kendala :

1.      2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

2.         X1 + 2 X2 + X4 = 5

3.         X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0

Pemecahan Optimal :

(1). Jika nilai X1 = 0 ; dan nilai X2 = 0

       Masukkan nilai X1 = 0 dan X2 = 0 pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       Maka tersisa X3 = 8

       Masukkan nilai X1 = 0 dan X2 = 0 pada persamaan  X1 + 2 X2 + X4 = 5

       Maka tersisa X4 = 5

       Masukkan nilai X1,X2, X3 dan X4 pada Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4      

       Sehingga Z = (15 * 0) + (10 * 0) + 0 (8) + 0 (5)

       Dengan demikian diperoleh nilai Z Max = 0

(2). Jika X1 = 0 dan X3 = 0

       Masukkan nilai X1 = 0 dan X3 = 0 pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       Maka tersisa 3 X2 = 8 à Nilai X2 = 8/3

       Masukkan nilai X2 = 8/3 pada persamaan  X1 + 2 X2 + X4 = 5

       2 X2 + X4 = 5 -à 2 (8/3) + X 4 = 5 à 16/3 + X4 = 5 à X 4 = 15/3 – 16/3

       Maka tersisa X4 = - 1/3

       Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak layak

(3). Jika X1 = 0 dan X4 = 0

       Masukkan nilai X1 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan X1 + 2 X2 + X4 = 5

       Maka tersisa 2 X2 = 5 à Nilai X2 = 5/2

       Masukkan nilai X2 = 5/2 pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       2 (0) + 3 (5/2) + X3 = 8à 15/2 + X3 = 8 à X3 = 16/2 – 15/2

       Maka tersisa X3 = 1/2

       Masukkan nilai X1,X2, X3 dan X4 pada Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4      

       Sehingga Z = (15 * 0) + (10 * 5/2) + 0 (1/2) + 0 (0)

       Dengan demikian diperoleh nilai Z Max = 25

(4). Jika X2 = 0 dan X3 = 0

      Masukkan nilai X2 = 0 dan X3 = 0 pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       Maka tersisa 2 X1 = 8 à Nilai X1 = 8/2 = 4

       Masukkan nilai X1 = 4 pada persamaan X1 + 2 X2 + X4 = 5

       4 + X4 = 5 -à X4 = 5 – 4 = 1

       Masukkan nilai X1,X2, X3 dan X4 pada Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4      

       Sehingga Z = (15 * 4) + (10 * 0) + 0 (0) + 0 (1)

       Dengan demikian diperoleh nilai Z Max = 60

(5). Jika X2 = 0 dan X4 = 0

      Masukkan nilai X2 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan X1 + 2 X2 + X4 = 5

       Maka tersisa X1 = 5

       Masukkan nilai X1 = 5 pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       2 (5) + 3 X(0) +  X3 = 8 à 10 + X3 = 8à X 3 = 8 – 10 = -2

       Masukkan nilai X1,X2, X3 dan X4 pada Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4      

       Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak layak

(6). Jika X3 = 0 dan X4 = 0

      Masukkan nilai X3 = 0  pada persamaan 2 X1 + 3 X2 + X3 = 8

       Maka tersisa 2 X1 + 3 X2 = 8 à X1 = 1/2 *(8 – 3 X2)

       Masukkan nilai X1 = 1/2 *(8 – 3 X2) pada persamaan X1 + 2 X2 + X4 = 5

       1/2 *(8 – 3 X2) + 2 X2 + 0 = 5à 2 X2 = (4 – 3/2 X2) + 2 X2 = 5

       4 – 3/2 X2 + 2 X2 = 5 -à - 3/2 X2 + 2 X2 = 5 – 4

- 3/2 X2 + 2 X2 = 1 à - 3/2 X2 + 4/2 X2 = 1 à ½ X2 = 1 à X2 = 2

       Masukkan nilai X2 pada persamaan X1 = 1/2 *(8 – 3 X2)

       X1 = 1/2 * (8 – 3*2) à X1 = 1/2  * 2 , Maka nilai X1 = 1

       Masukkan nilai X1,X2, X3 dan X4 pada Z = 15 X1 + 10 X2 + 0 X3 + 0 X4      

       Sehingga Z = (15 * 1) + (10 * 2) + 0 (0) + 0 (1)

       Dengan demikian diperoleh nilai Z Max = 35

Dari 6 pemecahan dasar diatas, dihasilkan 4 yang layak (feasible) yaitu Z1, Z3, Z4 dan Z6 , sedangkan yang tidak layak adalah Z2 dan Z5.

Diantara 4 pemecahan yang layak (feasible), maka ada satu yang terbesar yaitu Z4 sebesar 60 (Keuntungan maksimal) dengan jumlah produk A sebesar 4 unit , sedangka produk B tidak diproduksi dan bahan mentah ke II sisa 1 unit.   

       

Contoh Soal 1 (Kasus Minimisasi) :

Min Z = 8 X1 + 5 X2 + 0 X3 + 0 X4

Kendala :

1.      2 X1 +    X2 ≥ 15

2.      3 X1 + 2 X2 ≥ 10

3.      X1 ≥ 0 dan X2 ≥ 0

Untuk membuat ketidaksamaan menjadi persamaan linear harus dimasukkan variabel surplus yaitu variabel yang harus dikurangkan agar suatu ketidaksamaan menjadi persamaan.

2 X1 +    X2 – X3 =  15

3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

X3 dan X4 adalah variabel surplus, dimana

X3 ≥ 0 ; X4 ≥ 0, c3 = c4 = 0

Pemecahan Masalah :

1. Jika X1 = 0 dan X2 = 0

    Masukkan nilai X1 = 0 dan X2 = 0 pada persamaan 2 X1 +    X2 – X3 =  15

    Maka tersisa X3 = - 15

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X2 = 0 pada persamaan  3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    Maka tersisa X4 = - 10

    Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak dapat dihitung (tidak layak)

2.  Jika  X1 = 0 dan X3 = 0

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X3 = 0 pada persamaan 2 X1 +    X2 – X3 =  15

    Maka tersisa X2 =  15

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X2 = 0 pada persamaan  3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    3 (0) + 2 (15) – X4 = 10à 30 – X4 = 10-à 30 – 10 = X4 à  X4 = 20

    Masukan nilai X2 dan X4 pada persamaan Z = 8 X1 + 5 X2 + 0 X3 + 0 X4

    Z = 8 (0) + 5 (15) + 0 (0) + 0 (20)

    Z = 75

3. Jika X1 = 0 dan X4 = 0

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan 3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    Maka tersisa 2 X2 =  10 à X2 = 5

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan  2 X1 +    X2 – X3 =  15

    2 (0) + 5 – X3 = 15

    5 – 15 = X3 à X3 = 10 (Tidak Feasible)

    Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak dapat dihitung (tidak layak)

4. Jika X2 = 0 dan X3 = 0

    Masukkan nilai X2 = 0 dan X3 = 0 pada persamaan 2 X1 +    X2 – X3 =  15

    Maka tersisa 2 X1 =  15 à X1 = 7,5

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan  3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    Maka tersisa 3 (7,5) + 2 (0) – x4 = 10 -à 22,5 – X4 = 10

    X4 = 12,5

    Masukkan nilai X1 dan X4 dalam persamaan Z = 8 X1 + 5 X2 + 0 X3 + 0 X4

    Z = 8 (7,5) + 5 (0) + 0 (0) + 0 (12,5)

    Z = 60

5. Jika X2 = 0 dan X4 = 0

    Masukkan nilai X2 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan 2 X1 +    X2 – X3 =  15

    Maka tersisa 2 X1 – X3 =  15 à X3 = 2 X1 - 15

     Masukkan nilai X1 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan  3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    3 X1 = 10 à X1 = 10/3

    Masukkan nilai X1 pada persamaan X3 = 2 X1 – 15

    X3 = 2 (10/3) – 15 à X3 = 6,67 – 15 à x3 = - 8,33

    Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak dapat dihitung (tidak layak)

6. Jika X3 = 0 dan X 4 = 0

    Masukkan nilai X3 = 0 dan X4 = 0 pada persamaan 2 X1 +    X2 – X3 =  15

    Maka tersisa 2 X1 + X2 =  15 à X2 = 15 – 2 X1

     Masukkan nilai X2 pada persamaan  3 X1 + 2 X2  - X4  = 10

    3 X1 + 2 (15 – 2 X1) = 10

    3 X1 + 30 – 4 X1 = 10 à 3 X1 – 4 X1 = 10 – 30

-          X1 = - 20 -à X1 = 20

   Masukkan nilai X1 pada persamaan X2 = 15 – 2 X1

    X2 = 15 – 2 (- 20)à X2 = - 25

    Karena terdapat nilai negatif, maka Z tidak dapat dihitung (tidak layak)

Dari 6 pemecahan dasar diatas, dihasilkan 2 yang layak (feasible) yaitu Z2 dan Z4, sedangkan yang tidak layak adalah Z1, Z3, Z5 dan Z6.

Diantara 2 pemecahan yang layak (feasible), maka ada satu yang terkecil yaitu Z4 sebesar 60 (Biaya Minimum) dengan jumlah produk A sebesar 7,5 unit , sedangkan produk B tidak diproduksi dan bahan mentah ke II sisa 12,5 unit.   

 

TUGAS KELAS :

1.      Dikerjakan oleh masing-masing mahasiswa di kelas

2.      Mahasiswa silahkan memilih salah satu saja dari soal (Apakah kasus Maksimisasi atau Minimisasi)

3.      Mohon untuk mengisi daftar hadir

4.      Dikumpulkan kepada Pak Syamsudin (TU FE)

Soal 1. (Kasus Maksimisasi)

Berapa produksi harus dilakukan dengan sumberdaya yang tersedia, sehingg dapat dicapai keuntungan masksimal ? Berikut ini datanya :

Xk  = Jumlah Kursi yang Dibuat

Xm = Jumlah Meja Yang Dibuat

Jika Data pada tabel diatas dirumuskan dalam bentuk fungsi, adalah sebagai berikut :

Fungsi Objective Max Z = 6 Xm + 8 Xk

Kendala :

1.      30 Xm + 20 Xk ≤ 300

2.       5 Xm + 10 Xk ≤ 110

3.         Xm ≥ 0 ; Xk ≥ 0

Soal 2. (Kasus Minimisasi)

Berapa produk A dan B yang dapat dibuat dengan menggunakan campuran input a dan c dan besarnya biaya minimal yang digunakan ? Berikut ini datanya :

 

XA = Jumlah Produk A Yang Dibuat

XB = Jumlah Produk B Yang Dibuat

Jika data pada tabel diatas menjadi bentuk fungsi, adalah sebagai berikut :

Fungsi Objective Min Z = 18 XA + 10 Xb

Kendala :

1.      4 XA + 6 XB     ≥ 48.000

2.      12 XA + 10 XB ≥ 120.000

3.      10 XA + 15 XB ≥ 150.000

Dimana XA ≥ 0 dan XB ≥ 0